濾波器如何延緩信號?

    信息可以通過多種方式加載于信號，它總是需要一段限定的時間來通過處理系統。你可能很熟悉數字模塊的傳輸延遲概念。延遲，就是在輸入發生某些狀態變化到輸出發生相應狀態變化這段時間差。有數字概念的讀者首先想到的可能是一個‘1’和‘0’的碼流，以作為不同電壓或電流水平的物理表述。對于這樣的信號，傳輸延遲沒有害處;但當我們考慮到模擬信號(實際上，沒有確定的特性對應特定的時間點)時，就不是那么簡單了。

    我們經常對信號和數據序列進行低通濾波以消除“噪聲”--高頻率變異，我們已確定其沒有任何意義，且它還是我們要觀察的更重要的基本頻點的障礙。雖然濾波過程對我們的觀察影響巨大，但它絕對是一個影響觀察的案例。當我們查看響應圖形時，傳統濾波方式 明顯的后果是，在輸入信號的變化和濾波后輸出的相應變化之間有明確的時間延遲。當我們看一些例子時，我們將在某一時刻借助測試信號清楚地看到這點。

    我們如何量化這種形式的延遲?

    濾波器(或任何其它線性信號處理模塊)輸入信號和相應輸出之間的這種“滯后”，

    與組延遲緊密相關，組延遲相當于(或略低于)相位響應與派生頻率。為此應選用明智的單位;如果你用弧度測量相位，以其每秒弧度的角形式表達頻率，那么，(弧度)除以(弧度每秒)，你就可得到以秒表示的答案。或者你可以使用“周期”—— 一個周期，是一個完整旋環，或360度。相位差以周期表示，除以赫茲(與每秒的周期數相同)表示的常規頻率差，也會給出以秒表述的答案。

    我們可能忍不住要問：如果要避免這種滯后，為什么不設計一款沒有任何組延遲的濾波器?如果你以前讀過我的專欄，你可能會認識到這句話中的“危險成分”。因為，你猜對了——它并非這么容易。如果你查找或計算“標準”的低通濾波器響應，你會發現，他們的組延時是總是正向的，一直降到零頻率。這里，我們需要來點別出心裁。

    我們可以消除(或者不僅僅是消除)這種延遲嗎?

    如果你想讓延遲在任一頻率都為零，那嚴格的答案是‘不能‘。但確實有種技術可用以開發補償濾波器，當其與原來的濾波器級聯時，可以給你零延遲;當dc時，甚至是負的組延遲。正如我們將看到的，這可能非常有用。你不需要進行任何試錯——現在，可將麻煩扼殺在未發。

    比方說，某種低通傳遞函數h，它們在dc時有整體增益。可以容易地論證：新傳遞函數h’ = 2-h，在dc時也是整體增益，且在dc時的組延遲具有與h相同的

    幅值，但卻是負值。如果你級聯h和h‘(即串聯它們)，你會得到一個整體傳遞函數，我們稱其為h1，它具有dc整體增益和dc零組延時。對于s或z域的任何線性傳遞函數來說，h1就等于hh’，即h1 = h(2-h)。無論哪類濾波器，只要h是可實現的，這也就可以實現。

    這看起來似乎很怪誕。因為函數h‘與h的階相同(無論使用模擬或數字濾波器)，你可以看到，將其組合起來會使濾波器的尺寸加倍，因此實現其所需的資源也要加倍。也許不太容易想象的是，它可能會大大降低濾波器的衰減性能。如果h是一個具有dc整體增益的低通函數，而在所有其它頻率也具有整體增益(或小于整體增益)，那么函數2-h就有一個會在1和3之間振蕩的值，也就是說，它可以在響應中引入一個高達9.5db的“凸點”。如果該凸點落于整體濾波器的阻帶內，那么所發生的一切就只是衰減功能的惡化。如果凸點落在通帶內，那么該級聯的整個通帶內的響應會與單個h時的大相徑庭。

    這里有個簡單例子。對以100kps采樣率數字方式實現的h，在10khz時，以n=2的巴特沃斯濾波器開始。為了設計濾波器并獲得圖表，我使用了新版(2012年2月發布)的psoc creator濾波器工具，它為h給出了以下系數，幅度和組延時曲線在圖1表示。

    雙二階濾波器的 終系數：

    系數序列為a0，a1，a2，b1和b2

    0.0674552917480469

    0.134910583496094

    0.0674552917480469

    -1.14298057556152

    0.412801742553711

圖1：0.01 fs時，n=2的巴特沃斯濾波器的幅度和組延時。

    補償濾波器h’與h同分母，而分子等于兩個負數(h的分子)。我用快速電子表格進行了計算，并將結果反饋給psoc creator濾波器工具。工具為這兩個雙二階部分給出了 好的排序和增益;它獲得了4db增益，以確保凸點響應不高于0db，見圖2：

    雙二階濾波器的 終系數：

    系數序列為：a0，a1，a2，b1和b2

    0.216065168380737

    -0.2706618309021

    0.0847635269165039

    -1.14298057556152

    0.412801742553711

    0.372884273529053

    0.745768547058105

    0.372884273529053

    -1.14298057556152

    0.412801742553711

圖2：帶補償濾波器的n=2巴特沃斯級聯;零dc組延遲

    在通帶內，頻率響應明顯是非平坦(內有凹凸)的，而且已經放棄了一些相對阻帶抑制。如果你熟悉控制系統理論，你馬上會看到，我們得到的是增加的傳遞函數零，其組延時的貢獻準確取消了原始的濾波器極點(以及新極點也會出現)。但它并非太過糟糕的一個響應——它仍能去掉數據序列的高頻率噪聲——如圖3所示，某些神秘數據(哇!)：

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